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<!DOCTYPE html>

<title>Ortskurve (Systemtheorie)</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Ortskurve (Systemtheorie)</span></h1>

</header>

</div>

<p>Unter einer <b>Ortskurve</b> versteht man in der <a href="Systemtheorie_(Ingenieurwissenschaften)" title="Systemtheorie (Ingenieurwissenschaften)">Systemtheorie</a> die <a href="Liniendiagramm" title="Liniendiagramm">graphische Darstellung</a> einer von einem <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reellen </a><a href="Parameter_(Mathematik)" title="Parameter (Mathematik)">Parameter</a> abhängigen <a href="Komplexe_Zahl" title="Komplexe Zahl">komplexen</a> Systemgröße.

</p><p>Mathematisch ist die Ortskurve folgendermaßen definiert:

</p><p>Die von einem parameterabhängigen komplexen Zeiger <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underline {z}}={\underline {z}}(t)}">

</munder>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {z}}={\underline {z}}(t)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/66da9ff364167e1e33e0cf243f5d6bac2a12ea32.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.583ex; margin-left: -0.003ex; margin-bottom: -0.755ex; width:8.067ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\underline {z}}={\underline {z}}(t)}" loading="lazy"></span> in der <a href="Gau%C3%9Fsche_Zahlenebene" class="mw-redirect" title="Gaußsche Zahlenebene"> komplexen Zahlenebene</a> beschriebene Bahn heißt Ortskurve.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {z}}=\mathrm {R} \mathrm {e} ({\underline {z}})+\mathrm {j} \mathrm {I} \mathrm {m} ({\underline {z}})=x(t)+\mathrm {j} y(t)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7f5b394b596fdde6d706345c833fce32a38101f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.583ex; margin-left: -0.003ex; margin-bottom: -0.755ex; width:33.699ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\underline {z}}=\mathrm {R} \mathrm {e} ({\underline {z}})+\mathrm {j} \mathrm {I} \mathrm {m} ({\underline {z}})=x(t)+\mathrm {j} y(t)}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<dl><dd>mit der <a href="Imagin%C3%A4re_Zahl" title="Imaginäre Zahl">imaginären Einheit</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {j} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {j} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/97685153a7b89e72bba63e2903f6d5a7663fe734.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.127ex; width:0.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {j} }" loading="lazy"></span>. Der Parameter <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"></span> ist dabei Element eines halboffenen, offenen oder geschlossenen <a href="Intervall_(Mathematik)" title="Intervall (Mathematik)"> Intervalls</a> der reellen Zahlen. Im dargestellten Beispiel gilt: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\leq t\leq b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\leq t\leq b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eb00f41fbb0111bdea74d87ed678f9212a258a5e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.264ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a\leq t\leq b}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Ortskurven finden in verschiedenen technischen Disziplinen, insbesondere der <a href="Regelungstechnik" title="Regelungstechnik">Regelungstechnik</a>, <a href="Nachrichtentechnik" title="Nachrichtentechnik">Nachrichtentechnik</a>, <a href="Hochfrequenztechnik" title="Hochfrequenztechnik">Hochfrequenztechnik</a>, <a href="Energietechnik" title="Energietechnik">Energietechnik</a> und <a href="Akustik" title="Akustik">Akustik</a> (oder anderen Anwendungen der Schwingungslehre) Anwendung. Sie dienen dazu, die Eigenschaften oder das Verhalten eines technischen Systems wie beispielsweise einer <a href="Regelungstechnik" title="Regelungstechnik">Regelung</a> oder einer <a href="Elektrische_Schaltung" title="Elektrische Schaltung">elektrischen Schaltung</a> mit graphischen Mitteln darzustellen.

</p><p>Typische Beispiele für komplexe System-Größen, die durch Ortskurven dargestellt werden, sind

</p>

<ul><li>der <a href="Frequenzgang_(System)" class="mw-redirect" title="Frequenzgang (System)">Frequenzgang</a> des Übertragungsfaktors (d. h. des Verhältnisses der komplexen Eingangs- und Ausgangsgrößen) von <a href="LZI-System" class="mw-redirect" title="LZI-System"> linearen zeitinvarianten Systemen</a> in Abhängigkeit von der Frequenz,</li>

<li>komplexe <a href="Wechselstrom" title="Wechselstrom">Wechselstrom</a>-Größen (Strom, Spannung) sowie <a href="Impedanz" class="mw-redirect" title="Impedanz">Impedanzen</a> (komplexe Widerstände) und <a href="Admittanz" title="Admittanz">Admittanzen</a> (komplexe Leitwerte) von <a href="Zweipol" title="Zweipol">Zweipolen</a>.</li></ul>

<p>Parameter ist häufig, aber nicht zwingend, die Frequenz. Typische Parameter in der <a href="Leitungstheorie" title="Leitungstheorie">Theorie der Leitungen</a> sind beispielsweise die Leitungslänge oder das <a href="Anpassung_(Elektrotechnik)" title="Anpassung (Elektrotechnik)">Anpassverhältnis</a>. Ebenso wird die Impedanz eines <a href="Widerstand_(Bauelement)" title="Widerstand (Bauelement)">Widerstands</a>, einer <a href="Induktivit%C3%A4t_(Bauelement)" title="Induktivität (Bauelement)">Spule</a> oder eines <a href="Kondensator_(Elektrotechnik)" title="Kondensator (Elektrotechnik)">Kondensators</a> bei konstanter Frequenz als Funktion störender (parasitärer) Bauelementgrößen (zum Beispiel hat eine reale Spule nicht nur die gewollte Induktivität, sondern auch einen kleinen ohmschen Widerstand und eine kleine Kapazität) angegeben.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Gleichungen_für_die_darzustellende_komplexe_System-Größe"><span id="Gleichungen_f.C3.BCr_die_darzustellende_komplexe_System-Gr.C3.B6.C3.9Fe"></span>Gleichungen für die darzustellende komplexe System-Größe</h2></div>

<p>In Systemen, die aus endlich vielen konzentrierten Bauelementen bestehen, kann die System-Größe als gebrochen rationale Funktion in der folgenden Form dargestellt werden<sup id="cite_ref-weißg_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-weißg-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>:

</p>

</munder>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</munder>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</munder>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</munder>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</munder>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {O}}(t)={\frac {{\underline {A}}+{\underline {B}}t+{\underline {C}}t^{2}+{\underline {D}}t^{3}+\dotsb }{{\underline {a}}+{\underline {b}}t+{\underline {c}}t^{2}+{\underline {d}}t^{3}+\dotsb }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3d61d2909a3783f281076c79ff06493be93136e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.35ex; margin-bottom: -0.821ex; width:34.277ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle {\underline {O}}(t)={\frac {{\underline {A}}+{\underline {B}}t+{\underline {C}}t^{2}+{\underline {D}}t^{3}+\dotsb }{{\underline {a}}+{\underline {b}}t+{\underline {c}}t^{2}+{\underline {d}}t^{3}+\dotsb }}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<dl><dd>Hierbei ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"></span> ein reeller Parameter, und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underline {A}},\dotsc ,{\underline {D}},\dotsc }">

</munder>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {A}},\dotsc ,{\underline {D}},\dotsc }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba29f5f2cc4de159f8b5ac0c065f1021e2c122d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.511ex; margin-bottom: -0.827ex; width:12.607ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\underline {A}},\dotsc ,{\underline {D}},\dotsc }" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underline {a}},\dotsc ,{\underline {d}},\dotsc }">

</munder>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {a}},\dotsc ,{\underline {d}},\dotsc }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/78b966438e8b2e74d93badffbc33d230c039eb5b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.534ex; margin-bottom: -0.804ex; width:11.385ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\underline {a}},\dotsc ,{\underline {d}},\dotsc }" loading="lazy"></span> sind komplexe Größen. Der Unterstrich zeigt an, dass sie komplex sind.</dd></dl>

<p>Wird als Parameter die Frequenz betrachtet, ist es üblich, als unabhängige Variable die <a href="Kreisfrequenz" title="Kreisfrequenz">Kreisfrequenz</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega =2\pi f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega =2\pi f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7a1bf35d395c2d52391265e4bbda0aed14f52579.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.317ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \omega =2\pi f}" loading="lazy"></span> zu wählen. In diesem Fall stellt folgende Gleichung<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> die System-Größe dar:

</p>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H(\mathrm {j} \omega )={\frac {Y(\mathrm {j} \omega )}{X(\mathrm {j} \omega )}}={\frac {b_{0}+b_{1}(\mathrm {j} \omega )+\dotsb +b_{m}(\mathrm {j} \omega )^{m}}{a_{0}+a_{1}(\mathrm {j} \omega )+\dotsb +a_{n}(\mathrm {j} \omega )^{n}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88367c0ebb7f543ec124f66078dae000d1182881.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:47.476ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle H(\mathrm {j} \omega )={\frac {Y(\mathrm {j} \omega )}{X(\mathrm {j} \omega )}}={\frac {b_{0}+b_{1}(\mathrm {j} \omega )+\dotsb +b_{m}(\mathrm {j} \omega )^{m}}{a_{0}+a_{1}(\mathrm {j} \omega )+\dotsb +a_{n}(\mathrm {j} \omega )^{n}}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"></span> immer zusammen mit der imaginären Einheit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {j} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {j} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/97685153a7b89e72bba63e2903f6d5a7663fe734.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.127ex; width:0.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {j} }" loading="lazy"></span> auftritt, hat es sich insbesondere in der Regelungstechnik eingebürgert, als Parameter das Produkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {j} \omega }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {j} \omega }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/55145259a2a4457c69b20c914c415b522ba64d80.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.127ex; width:2.284ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {j} \omega }" loading="lazy"></span> anzugeben. Die mitgeschriebene Einheit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {j} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {j} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/97685153a7b89e72bba63e2903f6d5a7663fe734.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.127ex; width:0.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {j} }" loading="lazy"></span> macht deutlich, dass es sich um komplexe Größen handelt. Der Unterstrich kann entfallen.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Nachrichtentechnik">Nachrichtentechnik</h3></div>

<p>Ortskurven beschreiben das Übertragungsverhalten von Schaltungen, die lineare phasendrehende Bauteile (Kondensatoren, Spulen) enthalten und als imaginäre <a href="Blindwiderstand" title="Blindwiderstand">Blindwiderstände</a> behandelt werden. Typische Anwendungen sind <a href="Schwingkreis" title="Schwingkreis">Schwingkreise</a> oder <a href="Filter_(Elektronik)" class="mw-redirect" title="Filter (Elektronik)">Filter</a>, die elektrische Signale idealerweise nur bei bestimmten Frequenzen oder Frequenzbereichen passieren lassen und sonst sperren; siehe beispielsweise <a href="Tiefpass" title="Tiefpass">Tiefpass</a>, <a href="Hochpass" title="Hochpass">Hochpass</a>.

</p><p>Der Frequenzgang eines Tiefpasses (siehe Abbildung) ist mit den Formelzeichen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underline {V}}}">

</munder>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {V}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/10499d6d61cf45ab4a20bde442f14b22a452184f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.562ex; margin-left: -0.281ex; margin-bottom: -0.776ex; width:2.069ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\underline {V}}}" loading="lazy"></span> für den Quotienten aus komplexen Ausgangs- <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underline {u}}_{a}(\mathrm {j} \omega )}">

<msub>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {u}}_{a}(\mathrm {j} \omega )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0708e49728797ae5ada09f0303a8c3650babbf41.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.637ex; margin-bottom: -0.701ex; width:6.401ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\underline {u}}_{a}(\mathrm {j} \omega )}" loading="lazy"></span> und komplexen Eingangssignal <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underline {u}}_{e}(\mathrm {j} \omega )}">

<msub>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {u}}_{e}(\mathrm {j} \omega )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1c0c993ef1f15917b57d42a5621c51aa9c65ca20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.638ex; margin-bottom: -0.7ex; width:6.297ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\underline {u}}_{e}(\mathrm {j} \omega )}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"></span> für die Kreisfrequenz folgender Ausdruck:

</p>

</munder>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {V}}(\mathrm {j} \omega )={\frac {{\underline {u}}_{a}(\mathrm {j} \omega )}{{\underline {u}}_{e}(\mathrm {j} \omega )}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff55b074a190ccafbf806421c01eb7f9524047da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.428ex; margin-left: -0.281ex; margin-bottom: -0.744ex; width:16.372ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle {\underline {V}}(\mathrm {j} \omega )={\frac {{\underline {u}}_{a}(\mathrm {j} \omega )}{{\underline {u}}_{e}(\mathrm {j} \omega )}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Bei einem Tiefpass als <a href="RC-Glied" title="RC-Glied">RC-Glied</a> lautet die <a href="Tiefpass#Herleitung_der_Formel" title="Tiefpass">Gleichung</a> für den komplexen Spannungsübertragungsfaktor:

</p>

</munder>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {V}}(\mathrm {j} \omega )={\frac {{\underline {u}}_{a}(\mathrm {j} \omega )}{{\underline {u}}_{e}(\mathrm {j} \omega )}}={\frac {1}{1+CR\mathrm {j} \omega }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/25ba4a3138054da72e0a10c0c7ced8c0cd1ae2b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.428ex; margin-left: -0.281ex; margin-bottom: -0.744ex; width:29.997ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle {\underline {V}}(\mathrm {j} \omega )={\frac {{\underline {u}}_{a}(\mathrm {j} \omega )}{{\underline {u}}_{e}(\mathrm {j} \omega )}}={\frac {1}{1+CR\mathrm {j} \omega }}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<dl><dd>Das Zähler-Polynom ist reduziert auf <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Die Ortskurve des Übertragungsfaktors erfüllt die <a href="Kreisgleichung#Gleichungen" class="mw-redirect" title="Kreisgleichung"> Kreisgleichung</a> eines Kreises mit dem Radius <i>R</i> = 0,5 um den Punkt <i>M</i> = 0,5+ 0 · j, denn es gilt:

</p>

<mrow>

<mrow>

</munder>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|{\underline {V}}-{\frac {1}{2}}\right|=\left|{\frac {1}{1+j\omega CR}}-{\frac {1}{2}}\right|=\left|{\frac {1-j\omega CR}{2\cdot (1+j\omega CR)}}\right|={\frac {1}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5880e63eae5d16aca35129e5cd044240fca5bc3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:52.839ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \left|{\underline {V}}-{\frac {1}{2}}\right|=\left|{\frac {1}{1+j\omega CR}}-{\frac {1}{2}}\right|=\left|{\frac {1-j\omega CR}{2\cdot (1+j\omega CR)}}\right|={\frac {1}{2}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Das in der Regelungstechnik vorkommende <a href="PT1-Glied" title="PT1-Glied">PT<sub>1</sub>-Glied</a> kann als eine Kombination aus einem RC-Tiefpass mit der <a href="Zeitkonstante" title="Zeitkonstante">Zeitkonstante</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T=R\cdot C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T=R\cdot C}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/73c05661cdbd9d79364a656ce1cec63789876d34.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.944ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T=R\cdot C}" loading="lazy"></span> und einem frequenzunabhängigen <a href="Verst%C3%A4rker_(Elektrotechnik)" title="Verstärker (Elektrotechnik)">Verstärker</a> mit dem Verstärkungsfaktor <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"></span> aufgefasst werden.

</p>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H(\mathrm {j} \omega )={\frac {K}{1+T\mathrm {j} \omega }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a7ed85a0e3823e745261540c9c0b4891adf21775.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:17.762ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle H(\mathrm {j} \omega )={\frac {K}{1+T\mathrm {j} \omega }}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Regelungstechnik">Regelungstechnik</h3></div>

<p>Die in der Regelungstechnik verwendete Ortskurve des Frequenzgangs wird auch <a href="Nyquist-Diagramm" title="Nyquist-Diagramm">Nyquist-Diagramm</a> genannt. <a href="Harry_Nyquist" title="Harry Nyquist">Harry Nyquist</a> hat mit Hilfe dieser Ortskurve ein <a href="Stabilit%C3%A4tskriterium_von_Nyquist" title="Stabilitätskriterium von Nyquist">Stabilitätskriterium</a> für Regelungen formuliert.

</p><p>Die Ortskurve des Frequenzgangs wird sowohl für einzelne Bauteile als auch für Bauteilgruppen bis zur kompletten Kette des aufgeschnittenen <a href="Regelkreis" title="Regelkreis">Regelkreises</a> gezeichnet und verwendet. Abgebildet ist die Kurve für ein <a href="PT2-Glied" title="PT2-Glied">PT<sub>2</sub>-Glied</a> (Verstärker mit Verzögerung 2. Ordnung).

</p><p>Der Frequenzgang dieses Glieds ist mit dem Verstärkungsfaktor <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"></span> dem Dämpfungsmaß <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}" loading="lazy"></span> und der Zeitkonstante <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"></span> folgender Ausdruck:

</p>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H(\mathrm {j} \omega )={\frac {Y(\mathrm {j} \omega )}{X(\mathrm {j} \omega )}}={\frac {K}{1+2dT\mathrm {j} \omega -T^{2}\omega ^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/faa50ba1ac946b4a9a7dbeed0b3197889bb67593.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:38.137ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle H(\mathrm {j} \omega )={\frac {Y(\mathrm {j} \omega )}{X(\mathrm {j} \omega )}}={\frac {K}{1+2dT\mathrm {j} \omega -T^{2}\omega ^{2}}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Elektrische_Energietechnik">Elektrische Energietechnik</h3></div>

<p>In der <a href="Elektrische_Energietechnik" title="Elektrische Energietechnik">Energietechnik</a> ist die Frequenz des Stroms konstant, weshalb mit Ortskurven Übertragungsverhältnisse dargestellt und untersucht werden, die mit einem anderen Parameter als der Frequenz variieren. Als variable Größen im System kommen die Werte von ohmschen Widerständen, Spulen und Kondensatoren in Frage. Am häufigsten wird die komplexe <a href="Impedanz" class="mw-redirect" title="Impedanz">Impedanz</a> (Quotient aus komplexer <a href="Elektrische_Spannung" title="Elektrische Spannung">Spannung</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle u}" loading="lazy"></span> und komplexem <a href="Elektrischer_Strom" title="Elektrischer Strom">Strom</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"></span>) oder der komplexe <a href="Leitwert" class="mw-redirect" title="Leitwert">Leitwert</a> (Quotient aus komplexem Strom und komplexer Spannung) dargestellt.

</p><p>Die komplexe Gleichung für die Impedanz ist mit dem Parameter <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"></span> (in <i>R</i> = <i>p</i> · R<sub>0</sub>) und dem Zeichen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underline {Z}}}">

</munder>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {Z}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b179ffebb62a9357ca9191457d52ada9b1a906de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.511ex; margin-left: -0.06ex; margin-bottom: -0.827ex; width:1.742ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\underline {Z}}}" loading="lazy"></span> für die Impedanz (siehe Abbildung) folgender Ausdruck:

</p>

</munder>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {Z}}(p)=L\mathrm {j} \omega +R_{0}p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e9b684d4f8ac41386f8b82375c0be7f6da1fbf7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.583ex; margin-left: -0.06ex; margin-bottom: -0.755ex; width:18.388ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\underline {Z}}(p)=L\mathrm {j} \omega +R_{0}p}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Das Nenner-Polynom ist reduziert auf <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy"></span>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Das_Erstellen_von_Ortskurven">Das Erstellen von Ortskurven</h2></div>

<p>Die mit Ortskurven darstellbaren Beziehungen lassen sich durch Messung von Betrag und Phase ermitteln, und die Kurven lassen sich punktweise mit den Messwertpaaren in der komplexe Ebene zeichnen. Die erste und die dritte der Abbildungen zeigen, dass Ortskurven oftmals eine einfache geometrische Form haben und aus wenigen Messwertpaaren gefolgert werden können.

</p><p>Dieser Tatbestand macht es auch möglich, solche einfachen Ortskurven (Geraden, Kreise, Parabeln) rein theoretisch anzugeben, was insbesondere bei qualitativen Betrachtungen genügen kann. Ihre <a href="Kreisspiegelung" title="Kreisspiegelung">Inversionen</a> haben ebenfalls einfache geometrische Formen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Inversion_von_Ortskurven">Inversion von Ortskurven</h2></div>

<p>Die Inversion von Ortskurven besitzt beispielsweise Bedeutung bei der <a href="Kehrwert" title="Kehrwert">Kehrwertbildung</a> zur Berechnung des Leitwertes <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underline {Y}}}">

</munder>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {Y}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3c6f8c1a1548289defec8facdd73e079388f203.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.509ex; margin-left: -0.275ex; margin-bottom: -0.829ex; width:2.049ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\underline {Y}}}" loading="lazy"></span> aus der Impedanz <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underline {Z}}}">

</munder>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {Z}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b179ffebb62a9357ca9191457d52ada9b1a906de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.511ex; margin-left: -0.06ex; margin-bottom: -0.827ex; width:1.742ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\underline {Z}}}" loading="lazy"></span>

</p>

</munder>

</mrow>

<mfrac>

</munder>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {Y}}={\frac {1}{\underline {Z}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9996ca5530847b43b59525926cff2757cd7da5fa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.145ex; margin-left: -0.275ex; margin-bottom: -0.86ex; width:7.665ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\underline {Y}}={\frac {1}{\underline {Z}}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Sie ist ein Spezialfall der <a href="M%C3%B6biustransformation" title="Möbiustransformation">Möbiustransformation</a> und kann in einfachen Fällen mithilfe folgender Grundregeln und der Inversion einzelner Punkte grafisch durchgeführt werden.

</p>

<th>ursprüngliche Ortskurve</th>

<th>invertierte Ortskurve

</th></tr>

<tr>

<td>Gerade durch den <a href="Koordinatenursprung" class="mw-redirect" title="Koordinatenursprung">Ursprung</a></td>

<td>Gerade durch den Ursprung

</td></tr>

<tr>

<td>Gerade nicht durch den Ursprung</td>

<td>Kreis durch den Ursprung

</td></tr>

<tr>

<td>Kreis durch den Ursprung</td>

<td>Gerade nicht durch den Ursprung

</td></tr>

<tr>

<td>Kreis nicht durch den Ursprung</td>

<td>Kreis nicht durch den Ursprung

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Nyquist-Diagramm" title="Nyquist-Diagramm">Nyquist-Diagramm</a></li>

<li><a href="Komplexe_Wechselstromrechnung" title="Komplexe Wechselstromrechnung">Komplexe Wechselstromrechnung</a></li>

<li><a href="Phasengang" title="Phasengang">Phasengang</a></li>

<li><a href="Smith-Diagramm" title="Smith-Diagramm">Smith-Diagramm</a></li>

<li><a href="Hodograph" title="Hodograph">Hodograph</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Wilfried Weißgerber: <cite style="font-style:italic">Elektrotechnik für Ingenieure 2, 5 Ortskurven</cite>. 6. Auflage. Vieweg + Teubner, 2007, ISBN 978-3-8348-0191-3.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Ortskurve+%28Systemtheorie%29&rft.au=Wilfried+Wei%C3%9Fgerber&rft.btitle=Elektrotechnik+f%C3%BCr+Ingenieure+2%2C+5+Ortskurven&rft.date=2007&rft.edition=6.&rft.genre=book&rft.isbn=9783834801913&rft.pub=Vieweg+%2B+Teubner" style="display:none"> </span></li>

<li>Heinz Unbehauen: <cite style="font-style:italic">Regelungstechnik 1</cite>. 14. Auflage. Vieweg + Teubner, 2007, ISBN 978-3-384-80230-9, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>80–86</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Ortskurve+%28Systemtheorie%29&rft.au=Heinz+Unbehauen&rft.btitle=Regelungstechnik+1&rft.date=2007&rft.edition=14.&rft.genre=book&rft.isbn=9783384802309&rft.pages=80-86&rft.pub=Vieweg+%2B+Teubner" style="display:none"> </span></li>

<li><a href="Gert_Hagmann" title="Gert Hagmann">Gert Hagmann</a>: <i>Grundlagen der Elektrotechnik</i>. 11. Auflage, Wiebelsheim 2005, ISBN 3-89104-687-1.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Lothar Papula: <i>Mathematische Formelsammlung: Für Ingenieure und Naturwissenschaftler.</i> Vieweg, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8348-0156-2 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=-CLQ09g7LRIC&pg=PA227#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche)</span>

</li>

<li id="cite_note-weißg-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-weißg_2-0">↑</a></span> <span class="reference-text">Wilfried Weißgerber: <i>Elektrotechnik für Ingenieure 2.</i> 5 Ortskurven. 6. Auflage. Vieweg + Teubner, 2007, ISBN 978-3-8348-0191-3.</span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">zum Beispiel in Jan Lunze: <i>Regelungstechnik 1.</i> Springer, 2007, ISBN 978-3-540-70790-5, S. 224.</span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</body></html>